2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a^3+b^3}{2a^2b}\)là một số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(\frac{a^3+b^3}{a^2b}\)
Cho a,b là 2 số thực dương thoả mãn a+b=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\)
A, Cho 3 số a;b;c thỏa mãn \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}\)và 3a+2b-c khác 0 . Tính giá trị của biểu thức: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}\)
B, Cho 3 số a;b;c thỏa mãn \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)và 3a+2b-c=4 . Tìm các số a;b;c
a, Đặt \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k\)\(\Rightarrow a=2k\); \(b=3k\); \(c=5k\)
Ta có: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}=\frac{2k+7.3k-2.5k}{3.2k+2.3k-5k}=\frac{2k+21k-10k}{6k+6k-5k}=\frac{13k}{7k}=\frac{13}{7}\)
b, Ta có: \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)\(\Rightarrow\frac{2a-1}{1}=\frac{3b-1}{2}=\frac{4c-1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3}\) \(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{12}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2.12}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3.12}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{\left(b-\frac{1}{3}\right)}{8}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)\(\Rightarrow\frac{3\left(a-\frac{1}{2}\right)}{18}=\frac{2\left(b-\frac{1}{3}\right)}{16}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-\left(c-\frac{1}{4}\right)}{18+16-9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-c+\frac{1}{4}}{25}\)
\(=\frac{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}{25}=\left(4-\frac{23}{12}\right)\div25=\frac{25}{12}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{12}\)
Do đó: +) \(\frac{a-\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)\(\Rightarrow a=1\)
+) \(\frac{b-\frac{1}{3}}{8}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow b-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}\)\(\Rightarrow b=1\)
+) \(\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow c-\frac{1}{4}=\frac{9}{12}\)\(\Rightarrow c=1\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :\(P=\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\) .
Áp dụng bổ đề quen thuộc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\), ta được: \(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+2}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+2}\)\(=\frac{bc}{ab^2c\left(a+b\right)+abc^2\left(a+c\right)+2bc}=\frac{bc}{b\left(a+b\right)+c\left(a+c\right)+2bc}\)\(\le\frac{bc}{ab+ac+4bc}=\frac{bc}{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)+2bc}\)\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b\left(a+c\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2bc}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\)(2); \(\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}\right)\)(3)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{9}\left(1+1+1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{2}\)đạt được khi x = y = z = 1
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn. Tính giá trị biểu thức:
\(P=\frac{a^2c}{a^2c+c^2b+b^2a}+\frac{b^2a}{b^2a+a^2c+c^2b}+\frac{c^2b}{c^2b+b^2a+a^2c}\)
P = \(\frac{a^2c}{a^2c+c^2b+b^2a+}+\frac{b^2a}{b^2a+a^2c+c^2b}+\frac{c^2b}{c^2b+b^2a+a^2c}\)
P = \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{a^2c+c^2b+b^2a}=1\)
\(P=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}}+\frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}=1\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a(2a - 1) + b(2b - 1) = 2ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = \(\dfrac{a^3+2020}{b}+\dfrac{b^3+2020}{a}\)
\(2ab+a+b=2a^2+2b^2\ge2ab+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(F=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{ab}+2020\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\dfrac{8080}{a+b}\ge a^2+b^2+\dfrac{8080}{a+b}\)
\(F\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{8080}{a+b}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{8072}{a+b}\)
\(F\ge3\sqrt[3]{\dfrac{16\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}}+\dfrac{8072}{2}=...\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a(2a - 1) + b(2b - 1) = 2ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = \(\dfrac{a^3+2020}{b}+\dfrac{b^3+2020}{a}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
xy" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml"> hay cần tìm GTLN,GTNN của
, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN củax≥y" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">;
thì:|x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
1≤y≤100" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
nên:Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị
Cho a và b là hai số dương thỏa mãn ab=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(F=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
Có \(2a+2b-3\ge2\sqrt{2a.2b}-1=1\)(vì ab=1)
\(\Rightarrow F\ge a^3+b^3+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=2018 tìm giá trị NN của biểu thức:
P = \(\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2c+a}+\frac{c^2}{2a+b}\)
áp dụng bdt (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)\(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\) dấu '=" khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
(\(\left(\sqrt{2b+c}\right)^2+\left(\sqrt{2c+a}\right)^2+\left(\sqrt{2a+b}\right)^2\)). P\(\ge\left(a+b+c\right)^2\)
<=> P\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{2018}{3}\)=> P min= \(\frac{2018}{3}\)
P min khi \(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2b+a}\)<=> a=b=c= \(\frac{2018}{3}\)